SEINT：一种新型的SE(p)不变最优传输度量方法

> ### 摘要 > 本文介绍了一种新型度量方法——SEINT（SE(p)-Invariant Embedding for Optimal Transport），其核心在于实现SE(p)不变传输。SEINT无需训练，即可构建SE(p)不变表示，将高维结构信息高效压缩为严格满足度量性质的一维表征，显著提升最优传输（Optimal Transport, OT）对齐的计算效率。该方法在保持数学严谨性与几何不变性的同时，突破了传统OT方法对高维计算与模型训练的依赖。 > ### 关键词 > SEINT；SE(p)不变；最优传输；一维表征；无训练 ## 一、SEINT方法的基本概念 ### 1.1 SE(p)不变性的定义与重要性：探讨SE(p)不变在最优传输中的基础作用 SE(p)不变性，是几何结构在刚体变换（包括旋转与平移）下保持恒定的核心性质。在最优传输（Optimal Transport, OT）任务中，数据常以点云、图结构或流形嵌入等形式呈现，其空间构型易受坐标系选择、传感器朝向或采样视角影响——若表征不具备SE(p)不变性，微小的位姿扰动便可能导致传输代价剧烈波动，进而破坏OT距离的稳定性与可解释性。正因如此，SE(p)不变性并非一种可有可无的数学修饰，而是保障OT作为严格度量（metric）成立的前提：它确保不同结构间的比较真正聚焦于内在几何本质，而非外部表示的偶然性。传统方法往往通过后处理对齐或引入冗余参数来近似满足该性质，却难以兼顾理论严谨与计算可控。而SEINT的提出，正是将这一基础要求从“妥协目标”升格为“原生设计原则”，使最优传输首次能在无需牺牲不变性前提下，直面真实世界中普遍存在的姿态不确定性。 ### 1.2 SEINT方法的核心思想：介绍如何构建无需训练的SE(p)不变表示 SEINT的核心突破，在于彻底摆脱对监督信号或迭代优化的依赖，实现真正意义上的“无训练”SE(p)不变表示构建。它不拟合任何神经网络权重，不调整任何可学习参数，而是依托解析式几何不变量提取机制，将原始高维结构信息——无论其来自点集、网格还是拓扑特征——系统性地投影至一个天然具备SE(p)对称性的代数空间，并进一步压缩为单一标量值，即严格满足度量公理的一维表征。这一过程如同为纷繁复杂的形状世界锻造一把普适的“不变标尺”：它不因视角改变而伸缩，不因位置移动而偏移，却能精准刻度结构间的本质差异。正因如此，SEINT不仅显著提升了最优传输（OT）对齐的计算效率，更在根本上重塑了我们理解结构相似性的范式——原来最深刻的比较，未必需要最庞大的模型；有时，最简洁的一维，恰恰承载着最坚固的不变。 ## 二、SEINT方法的技术原理 ### 2.1 高维结构信息的压缩机制：解析SEINT如何将复杂数据压缩为一维表征 SEINT的压缩，不是削足适履式的降维，而是一场对结构本质的虔诚萃取。它不依赖数据驱动的黑箱拟合，亦不诉诸经验性的特征筛选；它所倚仗的，是几何不变量在代数结构中的天然栖居——那些在旋转与平移下岿然不动的标量函数，如广义矩、谱距离积分、或SE(p)轨道上的稳定泛函，被系统性地编织进一个解析可解的映射框架。高维点云的拓扑纠缠、图结构的连接张力、流形嵌入的曲率起伏，皆在此框架中被“翻译”为同一语言：一个数字。这个数字不是近似，不是统计摘要，而是严格承载原始结构在SE(p)群作用下等价类信息的一维表征。它微小，却完整；简洁，却不可约化——因为任何试图进一步压缩它的尝试，都将不可避免地抹去SE(p)不变性这一度量脊梁。正因如此，SEINT的一维，并非信息的贫瘠，而是信息的结晶：它把混沌的高维叙事，凝练成一句语法严谨、语义自洽的几何判词。 ### 2.2 最优传输对齐的实现：探讨SEINT在OT对齐中的数学基础与计算优势 当最优传输（Optimal Transport, OT）遇见SEINT，一场长期存在的张力终于得以消解：一边是OT作为严格度量所要求的不变性与公理完备性，另一边是高维OT计算中令人却步的立方级复杂度与训练开销。SEINT以无训练的方式，在源头上赋予OT对齐以SE(p)不变性——这意味着，两个结构间的OT距离，不再随坐标系平移或传感器旋转而漂移，其值只忠实地反映内在几何差异。更关键的是，由于表征已被压缩至一维，Wasserstein-1距离可退化为排序后差值的线性求和，计算复杂度从O(n³)骤降至O(n log n)，且无需迭代求解耦合矩阵。这不是对OT的简化，而是对其精神的回归：最优传输本应是关于“本质如何搬运”的哲学命题，而非“如何用算力堆砌精度”的工程竞赛。SEINT让这个命题，第一次在保持数学尊严的同时，轻盈落地。 ## 三、总结 SEINT作为一种新型度量方法，成功将SE(p)不变性从优化目标转化为原生设计原则，实现了无需训练的高维结构到一维表征的严格压缩。该方法在保持最优传输（Optimal Transport, OT）作为严格度量所必需的数学性质与几何不变性的同时，显著提升了计算效率。其核心价值在于：既规避了传统OT方法对高维计算与模型训练的依赖，又确保了结构比较真正聚焦于内在几何本质，而非外部表示的偶然性。SEINT为真实世界中普遍存在的姿态不确定性问题提供了兼具理论严谨性与工程可行性的新路径。